题目描述：

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

• 1 <= k <= 100
• 1 <= prices.length <= 1000
• 0 <= prices[i] <= 1000

解法一：动态规划

算法思路：

定义数组dp[i][j][k]表示第 i 天，最多交易 j 次，且当前持有股票的状态为 k 时，所能获得的最大利润，其中 k = 0时表示不持有股票，k = 1 时表示持有股票。

当 i = 0 时，股票价格为 prices[0] ，那么对于任意的一次交易 j，都有 dp[0][j][1] = -prices[0]，表示第 0 天买入股票，此时利润为 -prices[0]。

当 i > 0 时，有以下两种情况：

• 第 i 天不持有股票，可能是第 i - 1 天不持有股票且在第 i 天不进行任何操作，或者在第 i - 1 天持有股票且在第 i 天卖出，因此 dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i])。
• 第 i 天持有股票，可能是第 i - 1 天持有股票且在第 i 天不进行任何操作，或者在第 i - 1 天不持有股票且在第 i 天买入，因此 dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j][0] - prices[i])。

综上得到状态转移方程： $$ dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i]) $$

$$ dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j][0] – prices[i]) $$

答案即为 dp[n-1][k][0]。

代码实现：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][][] dp = new int[n][k+1][2];
        for(int i = 1; i <= k; i++){
            dp[0][i][1] = -prices[0];
        }
        for(int i = 1; i < n; i++){
            for(int j = 1; j <= k; j++){
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i-1][j][1] + prices[i], dp[i-1][j][0]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i-1][j-1][0] - prices[i], dp[i-1][j][1]);
            }
        }
        return dp[n-1][k][0];
    }
}

由于状态 dp[i][]只和dp[i-1][]有关，因此可以优化掉第一维的数组空间，优化空间复杂度：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[k+1][2];
        for(int i = 1; i <= k; i++){
            dp[i][1] = -prices[0];
        }
        for(int i = 1; i < n; i++){
            for(int j = 1; j <= k; j++){
                dp[j][0] = Math.max(dp[j][1] + prices[i], dp[j][0]);
                dp[j][1] = Math.max(dp[j-1][0] - prices[i], dp[j][1]);
            }
        }
        return dp[k][0];
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度： O(n * k)，其中 n 为数组 prices 的长度，k 为交易次数。

空间复杂度： O(k)，其中 k 为交易次数。

相关链接

• 188. 买卖股票的最佳时机 IV
• 123. 买卖股票的最佳时机 III – 动态规划
• 122. 买卖股票的最佳时机 II – 贪心&动态规划
• 121. 买卖股票的最佳时机 – 动态规划